Раціональні числа — в математиці множина раціональних чисел ℚ визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральнимзнаменником:

{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}},m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}}

або як множина розв'язків рівняння

{\displaystyle nx=m,\quad n\in \mathbb {N} ,\quad m\in \mathbb {Z} },

тобто n — натуральне число, m — ціле число.

Множина раціональних чисел є підмножиною алгебраїчних та дійсних чисел.

Основні властивості: 

Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.^[1]

1. Впорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел {\displaystyle a} та {\displaystyle b} існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох відношень: «{\displaystyle <}», «{\displaystyle >}» або «{\displaystyle =}». Це правило зветься правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємні числа {\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}}} та {\displaystyle b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}}зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа {\displaystyle m_{a}\cdot n_{b}} та {\displaystyle m_{b}\cdot n_{a}}; два недодатні числа {\displaystyle a} та {\displaystyle b} зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа {\displaystyle \left|b\right|} и {\displaystyle \left|a\right|}; якщо ж {\displaystyle a} невід'ємне, а {\displaystyle b} — від'ємне, то {\displaystyle a>b}.

   {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~\left(a<b\lor a>b\lor a=b\right)}

   

    

   Додавання дробів

2. Операція додавання. Для будь-яких раціональних чисел {\displaystyle a} та {\displaystyle b} існує правило додавання, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число {\displaystyle c}. При цьому число {\displaystyle c} зветься сумою чисел {\displaystyle a} та {\displaystyle b}й позначається {\displaystyle \left(a+b\right)}, а процес знаходження такого числа зветься додаванням. Правило додавання має такий вигляд: {\displaystyle {\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}.

   {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~\exists \left(a+b\right)\in \mathbb {Q} }

3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел {\displaystyle a} та {\displaystyle b} існує правило множення, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число {\displaystyle c}. При цьому число {\displaystyle c} зветься добутком чисел {\displaystyle a} та {\displaystyle b} й позначається {\displaystyle \left(a\cdot b\right)}, а процес знаходження такого числа зветься множенням. Правило множення має такий вигляд: {\displaystyle {\frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}.

   {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~\exists \left(a\cdot b\right)\in \mathbb {Q} }

4. Транзитивність відношення порядку. Для будь-якої трійки раціональних чисел {\displaystyle a}, {\displaystyle b} та {\displaystyle c} якщо {\displaystyle a} менше {\displaystyle b} та {\displaystyle b} менше {\displaystyle c}, то {\displaystyle a} менше {\displaystyle c}, а якщо {\displaystyle a}дорівнює {\displaystyle b} й {\displaystyle b} дорівнює {\displaystyle c}, то {\displaystyle a} дорівнює {\displaystyle c}.

   {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~\left(a<b\land b<c\Rightarrow a<c\right)\land \left(a=b\land b=c\Rightarrow a=c\right)}

5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.

   {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~~a+b=b+a}

6. Асоціативність додавання. Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.

   {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)}

7. Існування нуля. Існує раціональне число 0 (нуль), яке не змінює будь-яке інше раціональне число при додаванні.

   {\displaystyle \exists 0\in \mathbb {Q} ~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a+0=a}

8. Існування протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне протилежне раціональне число, при додаванні до якого утворюється 0.

   {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists \left(-a\right)\in \mathbb {Q} ~~a+\left(-a\right)=0}

9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.

   {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~~a\cdot b=b\cdot a}

10. Асоціативність множення. Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.

    {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)}

11. Існування одиниці. Існує раціональне число 1, яке не змінює будь-яке інше раціональне число при множенні.

    {\displaystyle \exists 1\in \mathbb {Q} ~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 1=a}

12. Існування обернених чисел. Будь-яке раціональне число, що не дорівнює нулю, має відповідне обернене раціональне число, множення на яке дає 1.

    {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists a^{-1}\in \mathbb {Q} ~~a\cdot a^{-1}=1}

13. Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:

    {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}

14. Зв'язок відношення порядку з операцією додавання. До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.

    {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a<b\Rightarrow a+c<b+c}

15. Зв'язок відношення порядку з операцією множення. Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатне раціональне число.

    {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~c>0\land a<b\Rightarrow a\cdot c<b\cdot c}

16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число {\displaystyle a}, можна взяти стільки одиниць, що їхня сума буде більшою за {\displaystyle a}.

    {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists n\in \mathbb {N} ~~\sum _{k=1}^{n}1>a}

Додаткові властивості:

Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкта. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:

• Друге відношення порядку «>» також транзитивне.

  {\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a>b\land b>c\Rightarrow a>c}

• Добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.

  {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 0=0}

• Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.

  {\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {Q} ~~a>b\land c>d\Rightarrow a+c>b+d}

• Множина раціональних чисел {\displaystyle \mathbb {Q} } є полем відносно операцій додавання та множення дробів.

  {\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+,\cdot \right)} — поле

• Кожне раціональне число є алгебраїчним.

  {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} }

Раціональні числа — в математиці множина раціональних чисел ℚ визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральнимзнаменником: {\displaystyle...