Усі елементарні функції поділяються на алгебраїчні та трансцендентні функції.

Алгебраїчна функція — це функція, що задовольняє алгебраїчне рівняння.

Рівняння виду: P(x1,… ,xn)=Q(x1,… ,xn), де P і Q многочлени з коефіцієнтами з поля раціональних чисел, називається алгебраїчним рівнянням.

Означення: Функція називається алгебраїчною функцією, якщо її значення можно отримати, виконуючи над незалежною змінною скінченну кількість алгебраїчних дій, таких як додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення у степінь з раціональним показником.

Трансцендентна функція — аналітична функція, що не є алгебраїчною. Простими прикладами трансцендентних функцій є показникова функція, тригонометрична функція, логарифмічна функція.

Якщо трансцендентні функції розглядати як функції комплексної змінної, то характерною їх ознакою є наявність хоч би однієї особливої точки, відмінної від плюсів і точок розгалуження скінченного порядку. Основи загальної теорії трансцендентних функцій дає теорія аналітичних функції.  Спеціальні  транцендентні  функції  вивчаються у відповідних дисциплінах.(теорія гіпергеометричних, еліптичних, бесселевих функцій і т. д.)