Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від'ємного числа називається число, протилежне даному, модуль нуля дорівнює нулю.
Модуль числа α позначається символом |а| і читається «модуль числа а». Згідно з означенням:
Виконання вправ
1. Знайдіть модулі чисел:
а) -
; б) 
-1; в) 1- ; г) 2- ()2.
Відповідь: а) ; б) -1; в) -1; г) 0.
2. Запишіть вирази без знака модуля:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 2-; б)-1; в) sin 3; г) lg 5.
3. Запишіть вирази, без знака модуля:
а) х + 
; б) 
- х; в) х - 
; г) 
.
Відповідь: а) 
б) 
в) 
г) 
Геометричний зміст модуля числа є відстань від початку координат до точки, що зображає дане число (рис. 1) на координатній прямій. Дійсно, якщо а > 0, то відстань ОА дорівнює а. Якщо b < 0, то відстань 0В дорівнює -b.
Теорема. Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точками, які є зображеннями чисел на координатній прямій.
Доведення
Візьмемо числа a і b. Позначимо на координатній прямій числа а, b, а — b через А, В, С (рис. 2). При паралельному перенесенні вздовж осі х на b, точка О перейде в точку В, а точка С — в точку А, тобто ОС=АВ. Оскільки за означенням модуля ОС=
, то АВ= , що і треба було довести.
Прості рівняння і нерівності з модулем зручно розв'язувати використовуючи геометричний зміст модуля. Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння |х| = 5.
Розв'язання
Співвідношення |х| = 5 геометричне означає, що відстань від точки х до початку координат дорівнює 5, тобто х = 5 або х = -5. Відповідь: ±5.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння |х + 3| = 2.
Перепишемо співвідношення |х + 3| = 2 у вигляді |х - (-3)| = 2, яке геометрична означає, що відстань від точки -3 до точки х дорівнює 2. Відклавши від точки -3 на координатній прямій відрізок довжиною 2 (вправо і вліво), одержимо х = -1 або х = -5.
Відповідь: -1; -5.
Приклад 3. Розв'яжіть нерівність |х - 3| < 2.
Розв'язання
Розв'язати нерівність |х - 3| < 2 геометричне означає: знайти точки х, відстань від яких до точки 3 не перевищує 2. На відстані 2 від точки З знаходяться точки 1 і 5 (рис. 3). Отже, 1 
х 5.
Відповідь: 1 х 5.
Приклад 4. Розв'яжіть нерівність |2х + 1| 
3 .
Перепишемо нерівність |2х + 1| 3 у вигляді |2х – (- 1)| 3 , яка геометрично означає, що відстань від точки 2х до точки -1 не менша 3 (рис. 4). На відстані 3 від точки -1 знаходяться точки 2 і - 4. Таким чином, 2х 2 або 2х - 4, звідси х 1 або х -2.
Відповідь: х 1 або х -2.
1. Розв'яжіть рівняння:
а) |х – 1| = 2; б) |х + 3| = 1; в) |2х + 1| = 3; г) |2х – 3| = 9.
Відповідь: а) -1; 3; б) -2; -4; в) 1; -2; г) -3; 6.
2. Розв'яжіть нерівності:
а) |х + 2| > 2; б) |2 – х| > 3; в) |2х – 3| < 5; г) |1 + 2х| < 1.
Відповідь: а) х < -4 або х > 0; б) х < -1 або х > 5; в) -1 < х < 4; г) -1 < х < 0.
3. Множину чисел, зображених на рис. 5, запишіть у вигляді нерівності, що містить знак модуля.
Відповідь: а) |х| < 1; б) |х| < 2; в) |х – 3| < 3; г) |х + 2| < 2.
4. Множину чисел, зображених на рис. 6, запишіть у вигляді нерівності, що містить знак модуля.
Відповідь: а) |х| 1; б) |х| > 3; в) |х + 2| 1; г) |х + 4| > 1.
5. Розв'яжіть рівняння:
а) ||х| – 1| = 2; б) ||х| – 4| = 1; в) ||х – 1| – 1| = 2; г) ||х + 1| + 1| = 2.
Відповідь: а) ±3; б) ±3; ±5; в) -2; 4; г) 0; -2.
6. Розв'яжіть нерівність:
а) ||х| - 2| 1; б) ||х| - 5| 2; в) ||х + 1| + 1| 3.
Відповідь: а) -3 х -1 або 1 х 3; б) -7 х -3 або 3 х 7; в) -3 х 1.
Використовуючи означення та геометричний зміст модуля дійсного числа, можна сформулювати такі його властивості.
1. Модуль дійсного числа — невід’ємне число, тобто |а| 0.
2. Модулі протилежних чисел рівні: |а| =|-а|.
3. Модуль добутку дорівнює добутку модулів множників: |аb| = |а · b|.
Дійсно, якщо а і b — числа однакових знаків, то ab > 0 і |аb| = |а| · |b|.
Якщо α і b — числа, які мають різні знаки, то ab < 0 і |аb| = = -ab. З другого боку |а|·|b| = - ab. Отже, |аb| = |а|•|b|.
4. Квадрат модуля числа дорівнює квадрату числа: |а|2 = а2.
5. Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль знаменника (якщо. модуль знаменника не дорівнює нулю): 
Дійсно, оскільки а = 
·b, то за властивістю 3 маємо: 
, звідки .
6. Модуль суми не перевищує суми модулів доданків: |а + b| |a| +|b|.
Оскільки -|a| а |a| і -|b| b |b|, то, додавши почленно ці нерівності, одержимо -|а| - |b| а + b |а| + |b|, або -(|а| + |b|) а + b |а| + |b|, що означає |a + b| |а| + |b|.