Дільники і кратні.
Дільником даного числа називається число, на яке дане ділиться без остачі.
Будь-яке просте число, наприклад 13, має тільки два дільники: одиницю і само себе. Будь-яке складне число має більш як два дільники.
ПРИКЛАД:
Число 6 має 4 дільники:
1, 2, 3 і 6.
ПРИКЛАД:
18 цукерок можна розділити порівну між 3 дітьми, давши кожному по 6 цукерок. Ці же цукерки не можна розділити порівну між 4 дітьми, не розрізаючи цукерки. Якщо дати кожному по 4 цукерки, то залишиться 2. Запишемо:
18 : 3 = 6;
18 : 4 = 4 (ост. 2).
Число 18 ділиться на число 3 без остачі (ще кажуть: 18 ділиться на 3). Число 3 називають дільником числа 18. Число 18 не ділиться без остачі на 4 (ще кажуть: 18 не ділиться на 4). Число 4 не є дільником числа 18.
Запишемо всі натуральні числа, на які ділиться число 18. Такими числами є 1, 2, 3, 6, 9, 18. Отже, число 18 має 6 дільників:
1, 2, 3, 6, 9 і 18.
Число 1 має лише один дільник – 1. Всяке інше натуральне число n ділиться на 1 і n. Тому 1 і n – дільники числа n, причому 1 – найменший дільник, n – найбільший.
Щоб знайти дільники даного складеного числа, спочатку розкладають його на прості множники: кожний з цих множників буде простім дільником даного числа. Множенням простих множників на 2, на 3, на 4 і т. д. одержують складені дільники даного числа.
ПРИКЛАД:
Знайти всі дільники числа 50.
50 = 2 × 52.
Отже, 50 ділиться на
1, 2, 5, 2 × 5, 52, 2 × 52.
Інших дільників число 50 не має.
ВІДПОВІДЬ:
1, 2, 5, 10, 25, 50.
Відоме правило, за яким можна легко визначати кількість всіх дільників даного числа. Для цього треба збільшити на одиницю показник степеня кожного співмножника канонічного розкладу даного числа і одержані числа перемножити.
ПРИКЛАД:
Скільки дільників має число 5600 ?
5600 = 25 × 52 × 7,
(5 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1)
= 36.
ВІДПОВІДЬ:
Число 5600 має 36 дільників.
Будь-яке натуральне число, яке ділиться на дане натуральне число, називається кратним даному числу.
ПРИКЛАД:
Числа 36, 72, 180 діляться на 18. Кажуть, що числа 36, 72, 180 кратні числу 18. Усі числа, кратні числу 18, можна одержати, помноживши на 18 послідовно числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … :
18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, … – числа, кратні 18.
Кожне натуральне число n має безліч кратних, найменшим з яких є саме число n.
Якщо кожний доданок ділиться без остачі на яке-небудь число, то й сума поділиться на це число.
Якщо кожний доданок, крім одного, ділиться на якесь число, а цей один на нього не ділиться, то сума всіх цих доданків на нього не поділиться.
Якщо зменшуване і від’ємник діляться націло на яке-небудь число, то й різниця поділиться на це число.
Подільність суми.
Якщо кожний з доданків ділиться на якесь число, то й сума їх обов'язково поділиться на це саме число.
Якщо кожний доданок, крім одного, ділиться на якесь число1 а один не ділиться, то сума не поділиться на це число.
Якщо ж два або більше доданків не діляться на якесь число, то про подільність суми не можна сказати нічого певного: в одних випадках вона ділиться, а в інших не ділиться на це число.
ПРИКЛАД:
13 і 7 не ділиться ні на 5, ні на 6, а сума 13 + 7 ділиться на 5, але не ділиться на 6.
Подільність різниці.
Якщо зменшуване і від'ємник діляться на якесь число, то й різниця поділиться на це саме число.
Якщо тільки одне з чисел — зменшуване або від'ємник — ділиться на якесь число, а друге не ділиться, то й різниця не ділиться на це число.
Якщо ні зменшуване, ні від’ємник не діляться на дане число, то різниця їх може ділитися, а може й не ділитися на це саме число.
ПРИКЛАД:
100 і 30 не діляться ні на 7, ні на 13, їх різниця
100 – 30
ділиться на 7, але на 13 не ділиться.
Подільність добутку на число і числа на добуток.
Якщо хоч один з співмножників ділиться на якесь число, то добуток їх також поділиться на це число.
Якщо ж один із співмножників не ділиться на дане число, то з цього ще не виходить, що на дане число не поділиться їх добуток.
ПРИКЛАД:
Ні 15, ні 10 не діляться на 6, а їх добуток
15 × 10
на 6 ділиться.
Якщо дане число ділиться на добуток, то воно ділиться на кожний з співмножників цього добутку.
Обернене твердження помилкове. Якщо якесь число ділиться зокрема на кілька даних чисел, то на їх добуток воно може і не поділитися.
ПРИКЛАД:
180 ділиться і на 5, і на 9, і на 6, але на добуток
5 × 9 × 6
воно не ділиться.
Якщо дане число ділиться на кілька попарно взаємно простих чисел то воно ділиться і на їх добуток.
ПРИКЛАД:
180 ділиться на 5, 3 і 4.
Ці числа попарно взаємно прості, тому 180 ділиться і на добуток
5 × 3 × 4.
ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ
Ділення без остачі не завжди можливе. Щоб, не виконуючи ділення, встановити, ділиться чи не ділиться одне число на інше, користуються ознаками подільності.
Дільники і кратні.
Дільником даного числа називається число, на...
