Iniziamo definendo il concetto di Identità Algebrica: si dice identità algebrica l'uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata per qualunque valore assegnato alle vaiabili in esse contenute, esclusi i valori per cui perde di significato.                                                                                               Es: (a+3b)^2=a^2 + 6ab + 9b^2

Di conseguenza deduciamo che, quindi, un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni verificate solo per particolari valori (soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute. Per cui, lo scopo è trovare i valori che assegnati alle variabili rendono vera l'uguaglianza tra le quantità; le variabili sono solitamente indicate con la lettera "x" ma non deve essere necesariamente così, si può avere un'incognita y, t, z, ecc. L'equazione è formata da 2 membri chiamati rispettivamente: 1° membro e 2° membro.                                                                        Quindi, le soluzioni o radici di un'equazione sono quei valori che si attribuiscono alla variabile per ottenere un'uguaglianza, possiamo classificare le equazioni in base al numero di soluzioni che ammettono; un equazione di dice: 

1. Determinata: se ammette un numero finito di soluzioni
2. Indeterminatase ammette infinite soluzioni
3. Impossibile: se non ammette soluzioni                   

Secondo quello che si è detto prima, il numero di soluzioni dipende dalla particolare equazione che si sta studiando: esistono equazioni senza alcuna soluzione, equazioni con una soluzione, con due, con tre e così via fino ad equazioni con infinite soluzioni.

Esempio:

Data l'equazione x+3=7 verifichiamo che x=4 sia una soluzione. Sostituendo nell'equazione il valore 4 ogni volta che troviamo la x otteniamo 4+3=7 cioè 7=7. Essendo essa un'uguaglianza vera confermiamo che x=4, quindi x=4 è soluzione dell'equazione!

Possiamo classificare, ancora, le equazioni in base alla loro natura; si dice equazione:

• Numerica: se figurano solo numeri oltre alle incgnite
  
• Letterale: se oltre alle incognite vi figurano altre lettere dette costanti
• Intera: se l'incognita compare solo nei numeratori di entrambi i membri con esponenti positivi
• Fratta: se l'incognita compare al denominatoreù
• Razionale: se l'incognita non figura sotto il segno di radice
• Irrazionale: se l'incognita figura sotto radice

L'equazione, come abbiamo detto, è un uguaglianza tra due espressioni algebriche quindi può essere ridotta a forma normale, un'equazione si dice ridotta a forma normale se il primo membro è un polinomio ridotto (mancante di termini "simili") e il secondo è zero.                                                         Es: 5a-3=0

Esiste un Teorema Fondamentale Dell'Algebra il quale ci dice che:                                                        Un equazione determinata di grado n ammette n soluzioni                                                                  Es: 5a-3=0   ===>   Se è determinata avrà una sola soluzione perchè è di 1° grado.

Infine le equazioni equivalenti:                                                                                                              Due equazioni di dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni. Per esempio: x+1=3 e x−2=0 sono equazioni equivalenti infatti entrambe hanno "2" come soluzione (cioè x=2 è l'unica soluzione di entrambe le equazioni).

In sintesi: per risolvere un'equazione generalmente si fanno una serie di passaggi utili a mettere in evidenza l'incognita in modo da capire facilmente quali sono i valori che sostituiti al posto di essa soddisfano l'equazione (ovvero le soluzioni). Nelle prossime sezioni vedremo come si risolvono le equazioni che si incontrano di frequente in matematica come le equazioni di primo grado!