Primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza stabilisce che, data un'equazione di qualsiasi tipo, se sommiamo o sottraiamo a entrambi i membri una medesima quantità senza alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, otteniamo una nuova equazione equivalente alla precedente.

Secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza stabilisce che, data un'equazione di qualsiasi tipo, se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per una stessa quantità diversa da zero e in modo tale da non alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, otteniamo una nuova equazione equivalente alla precedente.

Esempi sui principi di equivalenza

A) Se consideriamo l'equazione

il suo insieme di esistenza delle soluzioni è . Se sottraiamo a sinistra e a destra , l'insieme di esistenza delle soluzioni non viene modificato e continua ad essere , per cui ricaviamo un'equazione equivalente alla precedente:

che possiamo riscrivere nella forma

Ohibò! Questa è una nuova equazione ed evidentemente ammette come insieme soluzione , infatti

Il primo principio ci garantisce che  è anche soluzione dell'equazione assegnata inizialmente, ma se non ci fidiamo possiamo sostituire tale valore in luogo dell'incognita e vedere cosa succede:

B) Consideriamo l'equazione

Moltiplichiamo entrambi i membri per , il che ci consente di passare a un'equazione equivalente

ossia

che, come avrete certamente intuito, è l'unica soluzione dell'equazione proposta grazie al secondo principio di equivalenza.

L'unica parte che potrebbe sembrare oscura negli enunciati dei due principi di equivalenza e quella che recita: "senza alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni"