Un'equazione è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite.
Dominio
Il dominio delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali.
L ‘equazione non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
I PRINCIPI DI EQUIVALENZA sono due:
Il primo principio di equivalenza afferma che AGGIUNGENDO ad entrambi i membri di una equazione, uno STESSO NUMERO o una STESSA ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA, otteniamo una equazione EQUIVALENTE a quella data.
Il secondo principipo di equivalenza afferma che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero o per una stessa espressione che non possa annullarsi, si ottiene una equazione EQUIVALENTE a quella data.
Il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA afferma che AGGIUNGENDO ad entrambi i membri di una equazione, uno STESSO NUMERO o una STESSA ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA, otteniamo una equazione EQUIVALENTE a quella data.
la seconda conseguenza, che possiamo trarre dal PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che se uno STESSO TERMINE COMPARE in ENTRAMBI i MEMBRI di un'equazione, esso PUO' ESSERE SOPPRESSO.
La prima conseguenza, che dunque, possiamo trarre dal SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che possiamo CAMBIARE I SEGNI A TUTTI I TERMINI DI UN'EQUAZIONE e ottenere una equazione equivalente a quella data
Un'altra conseguenza che, possiamo trarre dal SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA è che, se tutti i termini di un'equazione hanno un FATTORE COMUNE diverso da zero, DIVIDENDO per tale numero si ottiene una equazione equivalente a quella data.
Equazioni algebriche
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
• equazioni di 1º grado o equazioni lineari;
• equazioni di 2º grado o equazioni quadratiche;
• equazioni di 3º grado o equazioni cubiche;
• equazioni di 4º grado o equazioni quartiche;
• equazioni di 5º grado o equazioni quintiche;
• e così via.
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
• equazioni non irrazionali;
• equazioni irrazionali, contenenti radici con incognite al radicando, si classificano in base all'indice della radice:
• indice pari;
• indice dispari.
Equazioni omogenee
Si definisce equazione omogenea, un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità.
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia e .
Equazioni trascendenti
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
• equazioni trigonometriche, in cui almeno un'incognita è presente come argomento di funzioni trigonometriche;
• equazioni esponenziali, in cui almeno un'incognita è presente come argomento di funzioni esponenziali;
• equazioni logaritmiche, in cui almeno un'incognita è presente come argomento di logaritmi.
Equazioni con valori assoluti
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
• equazioni algebriche con uno o più valori assoluti;
• equazioni trascendenti con uno o più valori assoluti.
Equazioni funzionali
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
• equazioni differenziali, se contengono derivate della funzione incognita;
• equazioni integrali, se contengono integrali della funzione incognita.