IL SISTEMA OTTALE

Il sistema numerico ottale (o base 8) è un sistema numerico posizionale che utilizza 8 simboli per rappresentare i numeri. I simboli utilizzati in questo sistema sono i numeri da 0 a 7. Ogni cifra rappresenta una potenza di 8, proprio come nel sistema decimale, dove ogni cifra rappresenta una potenza di 10.

Caratteristiche del Sistema Ottale:

• Base 8: Le uniche cifre utilizzabili sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 7.
• Posizione: Ogni cifra in un numero ottale ha un valore che dipende dalla sua posizione. Ad esempio, la cifra più a destra rappresenta 808^080, la cifra successiva rappresenta 818^181, e così via.

Come si rappresentano i numeri nel Sistema Ottale

Ogni numero ottale può essere rappresentato come una somma di potenze di 8, dove ogni cifra è moltiplicata dalla potenza corrispondente di 8. Ad esempio, il numero ottale 3458345_83458​ (con subscript per indicare la base 8) si legge e si interpreta come:

3458=3⋅82+4⋅81+5⋅80345_8 = 3 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^03458​=3⋅82+4⋅81+5⋅80

Ora, calcoliamo le potenze di 8:

3458=3⋅64+4⋅8+5⋅1=192+32+5=22910345_8 = 3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 1 = 192 + 32 + 5 = 229_{10}3458​=3⋅64+4⋅8+5⋅1=192+32+5=22910​

Quindi, il numero ottale 3458345_83458​ corrisponde al numero decimale 22910229_{10}22910​.

Conversioni tra Sistemi Numerici

Da Ottale a Decimale:

Per convertire un numero ottale in decimale, bisogna moltiplicare ogni cifra per la potenza di 8 corrispondente alla sua posizione e sommare i risultati.

Esempio di conversione da ottale a decimale: Convertiamo il numero ottale 4278427_84278​ in decimale:

4278=4⋅82+2⋅81+7⋅80427_8 = 4 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8^1 + 7 \cdot 8^04278​=4⋅82+2⋅81+7⋅80

Calcoliamo le potenze di 8:

4278=4⋅64+2⋅8+7⋅1=256+16+7=27910427_8 = 4 \cdot 64 + 2 \cdot 8 + 7 \cdot 1 = 256 + 16 + 7 = 279_{10}4278​=4⋅64+2⋅8+7⋅1=256+16+7=27910​

Quindi, 4278=27910427_8 = 279_{10}4278​=27910​.

Da Decimale a Ottale:

Per convertire un numero decimale in ottale, si usa la divisione successiva per 8, registrando i resti. Ogni resto corrisponde a una cifra del numero ottale, partendo dalla cifra meno significativa (a destra).

Esempio di conversione da decimale a ottale: Convertiamo il numero decimale 27910279_{10}27910​ in ottale:

1. $279÷8=34$ con resto $7$ (la cifra meno significativa).
2. $34÷8=4$ con resto $2$.
3. $4÷8=0$ con resto $4$ (la cifra più significativa).

Leggendo i resti dal basso verso l'alto, otteniamo 4278427_84278​.

Operazioni nel Sistema Ottale

Le operazioni di base come somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione si effettuano come nel sistema decimale, ma con la differenza che ogni volta che si raggiunge 8, bisogna "riportare" o "prestare" (proprio come nel sistema decimale quando si supera 9).

Esempio di Somma nel Sistema Ottale:

Sommiamo 56856_8568​ e 24824_8248​:

568+248 56_8 + 24_8568​+248​

1. Sommiamo le cifre più a destra: 6+4=12106 + 4 = 12_{10}6+4=1210​, che in ottale è 14814_8148​. Scriviamo 4 e riportiamo 1.
2. Sommiamo le cifre più a sinistra: 5+2+1=8105 + 2 + 1 = 8_{10}5+2+1=810​, che in ottale è 10810_8108​. Scriviamo 0 e riportiamo 1.

Il risultato finale è 1048104_81048​.

Applicazioni del Sistema Ottale

Sebbene il sistema ottale non sia molto usato quotidianamente, ha storicamente trovato applicazione in contesti legati all'informatica e all'elettronica, poiché ogni cifra ottale può rappresentare esattamente 3 bit in un sistema binario (base 2). Ad esempio, i numeri binari da 000 a 111 possono essere rappresentati rispettivamente come 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nel sistema ottale.

Esempi di Conversioni e Operazioni

Conversione da binario a ottale: Se vogliamo convertire il numero binario 1011102101110_21011102​ in ottale, raggruppiamo i bit in gruppi di 3 (da destra a sinistra):

1011102=101 110101110_2 = 101 \, 1101011102​=101110

Poi, convertiamo ogni gruppo di 3 bit in un singolo numero ottale:

1012=58,1102=68101_2 = 5_8, \quad 110_2 = 6_81012​=58​,1102​=68​

Quindi, 1011102=568101110_2 = 56_81011102​=568​.