In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica ad un'incognita x  è un'equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è , ed è sempre riconducibile alla forma:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad {\mbox{ (con }}a\neq 0{\mbox{)}}}.

Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri dell'equazione) delle equazioni di secondo grado nel campo complesso sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. Nel campo reale invece le equazioni quadratiche possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.

Sono poi particolarmente semplici da risolvere le cosiddette equazioni incomplete, dove alcuni coefficienti sono uguali a zero.

Il grafico della funzione

{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

nel piano cartesiano è una parabola, la cui concavità dipende dal segno di {\displaystyle a}. Più precisamente: se {\displaystyle a>0} la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto, se {\displaystyle a<0} la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

Equazione spuria

 dice spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:

{\displaystyle ax^{2}+bx=0.}

Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:

{\displaystyle x(ax+b)=0.}

Per la legge di annullamento del prodotto quest'equazione è equivalente alle due:

{\displaystyle x_{1}=0\quad {\mbox{ e }}ax_{2}+b=0.}

E in definitiva le sue soluzioni sono

{\displaystyle x_{1}=0\quad {\mbox{ e }}x_{2}=-{\frac {b}{a}}.}

Equazione pura

Si dice equazione quadratica pura un'equazione polinomiale di secondo grado mancante del termine di primo grado:

{\displaystyle ax^{2}+c=0.}

Portando {\displaystyle c} al secondo membro e dividendo per {\displaystyle a} si ottiene:

{\displaystyle x^{2}=-{\frac {c}{a}}.}

Se {\displaystyle -{\tfrac {c}{a}}<0}, non ammette soluzioni nel campo reale, in quanto non esistono numeri reali che siano radici quadrate di un numero negativo (per esempio {\displaystyle {\sqrt {-4}}}) bensì esistono due soluzioni nel campo dei numeri complessi.

, l'equazione è risolta da:

{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}.}

Equazione monomia[modifica | modifica wikitesto]

Si dice equazione monomia un'equazione quadratica nella quale {\displaystyle b=0} e {\displaystyle c=0}, dunque nella forma {\displaystyle ax^{2}=0}. In questo caso l'equazione ammette come unica soluzione doppia, o di molteplicità due, x1,x2=0

Equazioni complete e formula risolutiva generale

Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta equazione quadratica completa quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, così chiamato perché si modifica l'equazione fino a ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma {\displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}}.

Anzitutto portiamo {\displaystyle c} al secondo membro:

{\displaystyle ax^{2}+bx=-c.}

Moltiplichiamo per {\displaystyle 4a} entrambi i membri, ottenendo:

{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac.}

Notiamo

Notiamo che

{\displaystyle 4a^{2}x^{2}=(2ax)^{2}}

e che

{\displaystyle 4abx=2\cdot (2ax)\cdot b}

dunque possiamo considerare il termine {\displaystyle 2ax} come la {\displaystyle A} della formula del quadrato di binomio e {\displaystyle 4abx} come il doppio prodotto {\displaystyle 2AB} dove la {\displaystyle B} è uguale a {\displaystyle b}, dunque, per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, sommiamo ad ambo i membri dell'equazione 

ovvero:

{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac.}

Il secondo membro di quest'equazione è detto discriminante e in genere viene indicato con la lettera greca {\displaystyle \Delta } (Delta). Se {\displaystyle b^{2}-4ac} è negativo non ci sono soluzioni reali, dal momento che il primo membro, essendo un quadrato, è sempre maggiore o uguale a {\displaystyle 0}. In caso contrario, possiamo scrivere:

{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}

che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Calcolo delle soluzioni

Alla luce della dimostrazione precedente è chiaro che, nella risoluzione di un'equazione quadratica, è anzitutto necessario calcolare il discriminante {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}.
Si distinguono tre casi:

• Se {\displaystyle \Delta >0}, vi sono due soluzioni reali e distinte:

  {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}

  • 

  • Se {\displaystyle \Delta =0}, la formula risolutiva diventa:

    {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm 0}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}}

    Pertanto {\displaystyle x_{1}=x_{2}}, e vi è una sola radice di molteplicità due.
  • Se {\displaystyle \Delta <0}, infine, l'equazione non ha soluzioni reali. In particolare le soluzioni sono sempre due, ma appartengono al campo dei numeri complessi, esse sono due numeri complessi coniugati e si calcolano tramite le due formule:

    {\displaystyle x_{+}={\frac {-b}{2a}}+i\left({\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\right)}

Interpretazione geometrica

Le radici dell'equazione quadratica

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

sono anche i punti in cui la funzione

{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}

assume valore nullo, dal momento che essi sono i valori di {\displaystyle x} per cui

{\displaystyle f(x)=0.}

Se {\displaystyle a}, {\displaystyle b} e {\displaystyle c} sono numeri reali e il dominio di {\displaystyle f} è l'insieme dei numeri reali, allora gli zeri di {\displaystyle f} sono esattamente le ascisse dei punti dove il grafico di  è l'insieme dei numeri reali, allora gli zeri di  sono esattamente le ascisse dei punti dove il grafico di  tocca l'asse .

Dalle considerazioni precedenti si deduce che, se il discriminante è positivo, il grafico interseca l'asse delle ascisse in due punti; se è nullo, il grafico è tangente all'asse {\displaystyle x} in un punto; se è negativo, il grafico non tocca mai l'asse 

Forma ridotta della formula risolutiva

La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado può essere "semplificata" moltiplicando per {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} il denominatore e il numeratore

{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-{\frac {1}{2}}b\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{a}}={\frac {-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac}}}{a}},}

e applicando la sostituzione {\displaystyle t={\tfrac {b}{2}}}

{\displaystyle {\frac {-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac}}}{a}}={\frac {-t\pm {\sqrt {t^{2}-ac}}}{a}}.}

Questa formula può risultare comoda quando il coefficiente dell'incognita di primo grado dell'equazione, {\displaystyle b}, è esattamente divisibile per due.

Nel caso in cui {\displaystyle a=1}, allora la formula si semplifica in

{\displaystyle -{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}}}

Relazioni tra radici e coefficienti

Poniamo {\displaystyle s} uguale alla somma delle due soluzioni dell'equazione quadratica e 

 {\displaystyle p} il loro prodotto, quindi {\displaystyle s=x_{1}+x_{2}} e {\displaystyle p=x_{1}x_{2}}. Sommando membro a membro le due soluzioni abbiamo:

{\displaystyle s=x_{1}+x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}.}

Effettuando invece il prodotto membro a membro abbiamo:

{\displaystyle p=x_{1}x_{2}={\frac {(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}})(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}})}{4a^{2}}}={\frac {(-b)^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}.}

Queste due relazioni consentono di determinare somma e prodotto delle radici senza risolvere l'equazione; esse sono un caso particolare delle formule di Viète. Inoltre, se riscriviamo la generica equazione di secondo grado nella cosiddetta forma normale, cioè dividendo ambo i termini per {\displaystyle a}:

{\di