EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Hai bisogno di una spiegazione delle equazioni di primo grado in vista del compito in classe di matematica? Non temere: noi di Studenti.it siamo qui per aiutarti! Ecco per te un approfondimentoper non farti cogliere impreparato dalla prof! Cosa aspetti? Ripassa con noi! E non dimenticarti di consultare anche la seconda parte della spiegazione sulle equazioni di secondo grado.
Espressione
Un insieme di numeri e lettere collegati da operazioni da eseguire su di essi costituiscono un' espressione. Le lettere che compaiono in un'espressione possono avere due diversi significati: possono essere costanti (generalmente indicate con le prime lettere dell'alfabeto: a,b,c,...), o variabili (ed indicate con le ultime lettere dell'alfabeto: x,y,z).
Identità
Si dice identità, l'uguaglianza tra due espressioni verificata per qualunque valore assegnato alle variabili in esse contenute e per cui le espressioni hanno significato. Ad esempio, sono identità le seguenti uguaglianze:
Equazione
Si dice equazione, una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (detti soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute. Ad esempio:
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3x + 20=7 |
Risolvere un'equazione significa determinare l' insieme delle soluzioni S, ossia l'insieme di quei particolari valori che, assegnati alle variabili, soddisfano l'equazione trasformandola in uguaglianza. Si noti che, a priori, data un'equazione, non sappiamo se esistono soluzioni. Potrebbe anche succedere che, risolvendola, si scopra che essa è soddisfatta per qualsiasi valore dell'incognita: in questo caso, scopriamo a posteriori, che l'equazione data era in realtà un'identità. Quindi, fate attenzione: quando si ha davanti un'equazione (ovvero un'espressione in cui compaiono una o più incognite) il nostro obiettivo è quello di risolverla, ovvero di trovare dei valori che, sostituiti, all'incognita, diano luogo a una identità (ad esempio: 7=7). Non è escluso il caso in cui l'equazione si dimostri essere, a posteriori, un'identità, ovvero verificata per ogni valore dell'incognita che non faccia perdere di significato le operazioni che compaiono.
Ad esempio: 5x-3=4x+1 è un'equazione che ammette come soluzione x=4: infatti, sostituendo alla x tale valore si ottiene l'identità 17=17.
Tra poco vedremo come fare a risolvere un'equazione. Intanto vediamo una prima classificazione delle equazioni in base all'esistenza e al numero di soluzioni.
Un'equazione si dice
• indeterminata, se ammette infinite soluzioni (ad esempio: 2x+1=2x+2-1)
:• determinata, se ammette un numero finito di soluzioni (ad esempio, quella di prima: 5x-3=4x+1)
• impossibile, se non ammette soluzioni (ad esempio: x+1=x-1). Un'altra classificazione è fatta in base al tipo di espressioni e operazioni che compaiono.
Le equazioni algebriche sono equazioni in cui, come dice la parola, sull'incognita si effettuano operazioni algebriche (somma, differenza, prodotto, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice), mentre quelle trascendenti sono equazioni in cui l'incognita compare nell'argomento di funzioni esponenziali, logaritmiche o goniometriche.In questa parte ci concentriamo sulle equazioni algebriche. Nel seguito, dunque, quando si parlerà genericamente di equazioni, si intenderanno quelle algebriche.
Ancora, considerando sempre classificazioni sulla base delle operazioni che compaiono, possiamo distinguere le equazioni in:
- numeriche (se, oltre all'incognita, vi figurano solo numeri);
- letterali (se, oltre all'incognita, vi figurano altre lettere, che hanno il ruolo di costanti);
- intere (se non ci sono frazioni o, nel caso ci fossero, se l'incognita non compare in nessun denominatore)
- fratte (se, al contrario, compare in almeno un denominatore)
- razionali (se l'incognita non figura sotto il segno di radice)
- irrazionali (se, al contrario, compare sotto il segno di radice; anche qui, come sopra: se vedete radici, non è detto che l'equazione sia irrazionale. Dipende se sotto una o più di quelle radici vi compare l'incognita).
Equazione ridotta a Forma Normale (FN)
Un'equazione algebrica si dice ridotta a forma normale (FN) se il primo membro è un polinomio ridotto e il secondo membro è zero.Per polinomio ridotto si intende un polinomio in cui non compaiono monomi simili (ovvero, si è già provveduto in precedenza a fare le somme e le semplificazioni). Ad esempio: 3x-4=0 è in FN. Mentre non lo sono: 2x-2=1; 2x2 -3x+x2 =0. In quest'ultimo è necessario sommare tra loro i termini simili in x2 per ottenere un'equazione in FN.
Grado di un'equazioni
Si dice grado di un'equazione ridotta a FN il grado del polinomio che si trova a primo membro dell'equazione (ovvero, il grado massimo con cui compare l'incognita). Ad esempio: 5x-2=0 è un'equazione di primo grado. 3x4 +x3 -2=0 è di quarto grado.
Risoluzione di un'equazione
In generale, quando in un esercizio è richiesto di risolvere un'equazione, è necessario fare dei passaggi prima di arrivare alla FN.Da questa è poi possibile, nei modi che si vedranno in seguito per le equazioni di primo e secondo grado, trovare agevolmente le soluzioni dell'equazione assegnata.
