Un gruppo (G,*) può avere uno o più sottogruppi, oppure non averne affatto. I sottogruppi sono detti sottogruppi impropri se il sottoinsieme S contiene gli stessi elementi S=G oppure soltanto l'elemento neutro S={u} del gruppo (G,*). Tutti gli altri sottogruppi sono, invece, detti sottogruppi propri.