Cos’è un insieme?
Il concetto di insieme è un ente primitivo. Esso non viene definito e gli si attribuisce semplicemente il significato intuitivo che il termine stesso suggerisce. Un insieme, in Matematica, è un raggruppamento di elementi di qualsiasi tipo (numerico, logico, concettuale) che sono caratterizzati da una caratteristica comune che li accomuna. ATTENZIONE! Da un punto di vista matematico un insieme è un raggruppamento di elementi per il quale è possibile decidere senza dubbio se un elemento vi appartiene o no. Inoltre i suoi elementi devono essere tutti distinti fra loro. Ad esempio:
Per evitare ambiguità ed equivoci, gli oggetti che costituiscono un dato insieme devono essere tutti ben definiti e distinguibili l’uno dall’altro. Inoltre, deve essere sempre possibile poter stabilire con esattezza se un oggetto x appartiene o no all’insieme considerato. Generalmente, gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto (A,B,…,Z), mentre per gli elementi si utilizzano le lettere minuscole (a,b,…, z).
Per indicare l'appartenenza di un elemento a un determinato insieme utiliazziamo il simbolo ∈ , detto appunto simbolo di appartenenza. Invece, per indicare che un elemento non appartiene a un determinato insieme usiamo il simbolo ∉, detto simbolo di non appartenenza.
Esempio
Consideriamo l'insieme A, come nel successivo esempio. Per indicare che un oggetto x è elemento di A, scriveremo
Abbiamo citato numerose volte l'insieme ℕ dei numeri naturali che costituisce un insieme matematico numerico. Gli insiemi numerici sono dei particolari insiemi infiniti, ossia raggruppamenti di numeri formati da infiniti elementi e classificati in base a determinate caratteristiche comuni. Ogni insieme numerico ha un ruolo molto importante in ciascuna branca della Matematica, e proprio per questo motivo i principali insiemi numerici vengono studiati fin dai primi anni della scuola media. I principali sono:
Per indicare quali elementi appartengono a un insieme esistono diverse modalità di rappresentazione.
La rappresentazione per elencazione di un insieme prevede, appunto, l'elencazione tutti gli elementi che appartengono ad un insieme semplicemente elencandoli uno ad uno, all’interno di parentesi graffe.
Esempio
Se A è l’insieme delle vocali dell’alfabeto, si scrive A={a,e,i,o,u}; se B è l’insieme dei numeri 3,6,9 si scrive B={3,6,9}.
Un altro modo per individuare un insieme è la rappresentazione per caratteristica, che consiste nel dare una proprietà che risulti verificata da tutti gli elementi dell’insieme e solo da essi.
Esempio
Se ℤ è l’insieme di tutti gli interi relativi, la scrittura A={x|x ∊ ℤ, x > 100} indica l’insieme A che comprende tutti i numeri interi relativi maggiori di 100. Questa scrittura si legge '' x è tale che x appartiene ai numeri interi relativi maggiori di 100''.
Infine, con la rappresentazione grafica ogni insieme viene rappresentato con una regione di piano limitata da una curva chiusa. Forme grafiche di questo tipo sono generalmente denominate diagrammi di Eulero-Venn. In cui gli elementi dell’insieme stanno all’interno della linea chiusa, mentre gli elementi che non appartengono all’insieme stanno all’esterno.
Esercitati!
Rappresenta in tutti i modi possibili i seguenti insiemi:
Un insieme si può classificare in molti modi:
Esempio
L'insieme delle vocali è un insieme finito; l'insieme dei numeri naturali è un insieme infinito; l'insieme dei numeri relativi maggiori di 0 e minori di 2 è un insieme vuoto poichè non esistono numeri relativi maggiori di 0 e minori di 2; infine, l'insieme dei pianeti del Sistema Solare che hanno come satellite la Luna è un insieme unitario poichè solo la Terra ha come satellite la Luna.
