Operazioni fra insiemi

Vediamo ora le possibili operazioni fra insiemi e le relative proprieta'

• UNIONE
• INTERSEZIONE
• DIFFERENZE
• COMPLEMENTAZIONE
• PRODOTTO CARTESIANO

UNIONE

L'unione fra due insiemi e' l'operazione che associa ai due insiemi l'insieme i cui elementi appartengono al primo oppure al secondo insieme
 A  B (si legge A unione B)

Vediamo un esempio:

 in rappresentazione tabulare

Dati gli insiemi
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 4, 5, 6 }
 A  B= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

devo prendere tutti gli elementi che appartengono ad A o che appartengono a B

 vediamo mediante i diagrammi

                                                                                                                        in azzurro l'insieme unione

INTERSEZIONE

L'intersezione fra due insiemi è l'operazione che associa ai due insiemi l'insieme i cui elementi appartengono contemporaneamente al primo e al secondo insieme
Si indica come
 A  B  (si legge A intersezione B)

Vediamo un esempio:

in rappresentazione tabulare
Dati gli insiemi
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 4, 5, 6 }
A  B= { 3, 4 }
devo prendere tutti gli elementi che appartengono ad A e contemporaneamente appartengono a B

vediamo mediante i diagrammi

                                                                                                                            in azzurro l'insieme intersezione

DIFFERENZE

Si definisce differenza fra due insiemi l'insieme degli elementi del primo insieme che non appartengono al secondo insieme;
Si indica come  A \ Bod anche A-B

si legge differenza fra A e B 
Abbiamo due casi

il secondo insieme non e' contenuto completamente nel primo insieme; 
in tal caso si parla semplicemente di differenza
esempio: Dati gli insiemi
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 4, 5, 6 }
A \ B = A-B = { 1, 2 }
devo prendere tutti gli elementi che appartengono ad A e non appartengono a B
in diagrammi di Eulero-Venn

 l'insieme differenza e' in azzurro

il secondo insieme e' contenuto nel primo insieme 
in tal caso si parla di differenza complementare
esempio: Dati gli insiemi
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 4 }
A \ B = A-B = { 1, 2 }
devo prendere tutti gli elementi di A che non appartengono a B
in diagrammi di Eulero-Venn

                                   l'insieme differenza e' in azzurro

COMPLEMENTAZIONE

Riprendiamo l'esempio di differenza complementare della pagina precedente con l'insieme B contenuto in A B  A :

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 3, 4 }

A \ B = A-B = { 1, 2 }

Allora possiamo dire che A\B e' l'insieme complementare di B rispetto all'insieme A e lo indicheremo con B

A \ B = A-B = B

L'unione di un insieme con il suo complementare restituisce l'insieme di partenza

 B  B _= B_ B = A 

ll'intersezione di un insieme con il suo complementare e' l'insieme vuoto

B  B _= B_ B = Ø

Avremo in generale per qualunque insieme

A = A 

cioe' il complementare del complementare (il doppio complementare) di un insieme rispetto ad un qualunque sovrainsieme e' l'insieme di partenza
Si dice che l'insieme C e' sovrainsieme dell'insieme A se C contiene A

PRODOTTO CARTESIANO

Definiamo prodotto cartesiano AxB di due insiemi A e B  l'insieme di tutte le coppie ordinate che hanno come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di  B 

Dati gli insiemi
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { a, b, c }
Costruisco tutte le coppie considerando come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B
AxB = { (1,a) (1,b) (1,c) (2,a) (2,b) (2,c) (3,a) (3,b) (3,c) (4,a) (4,b) (4,c) }

 Particolarmente interessante e' la rappresentazione cartesiana del prodotto: riportando su un asse orizzontale gli elementi di A e su un asse verticale gli elementi di B le coppie sono rappresentate dai punti di incrocio